本文列举了微分方程的公式，当做一个笔记，如果后面有地方用得上就回来翻翻。 当然本文是为了求解模型中用得上的微分方程而书写的，并非是为了考研或者本科课程应试，所以不会有例题，只会有对应的解法。同时公式和解法不一定是完全的，后面如果还遇到了到时候再进行补充。

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要了解微分方程，得从微分说起，微分的核心是变化率。就比如速度 v = d x d t v=\frac{dx}{dt} v=dtdx​，即每一时刻距离的变化；而加速度 a = d v d t a=\frac{dv}{dt} a=dtdv​，即每一时刻速度的变化。

有了这个概念后，我们再来看微分方程，简单来说就是由变化率构成的一个方程。其使用场景为：描述相对变量比绝对量更容易时。

微分方程分为两部分：

微分方程也可以分为一阶方程和高阶方程，具体的组成（解法）如下图：

形如：

y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y'+p(x)y=q(x) y′+p(x)y=q(x)

若：

通解： y = e − ∫ p ( x ) d x [ ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x + c ] y=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c] y=e−∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dxdx+c]

形如： ∫ g ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x \int g(y)dy=\int f(x)dx ∫g(y)dy=∫f(x)dx

解法： d y d x = g ( y ) f ( x ) → G ( y ) = F ( x ) + c \frac{dy}{dx}=\frac{g(y)}{f(x)} \rightarrow G(y)=F(x)+c dxdy​=f(x)g(y)​→G(y)=F(x)+c

就是将 d y dy dy与 d x dx dx移到一边，其余的移动到另外一边。

形如： d y d x = f ( y x ) \frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x}) dxdy​=f(xy​)

解法：

形如： y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y n y'+p(x)y=q(x)y^n y′+p(x)y=q(x)yn

解法：

形如： P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

就是说函数 P P P和函数 Q Q Q都是包含了 x x x和 y y y的。

解法：

解法：

解法：

定义： a n d n y d x n + a n − 1 d n − 1 y d x n − 1 + . . . + a 1 d y d x + a 0 y = f ( x ) a_n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1 \frac{dy}{dx}+a_0y=f(x) an​dxndny​+an−1​dxn−1dn−1y​+...+a1​dxdy​+a0​y=f(x)

若：

由于我现在还用不上高阶常系数非齐次微分方程，所以没有看特解的求法，如果以后看了在做补充。

高阶常系数齐次微分方程解的结构为： y = c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) + . . . + c n y n ( x ) y=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+...+c_ny_n(x) y=c1​y1​(x)+c2​y2​(x)+...+cn​yn​(x)

齐次方程的解法为：

现在问题转换为了特征根形式，特征根从大方向上来说一共有3类：

通解为： y = c 1 e λ 1 x + c 2 e λ 2 x + . . . + c n e λ n x y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}+...+c_ne^{\lambda_nx} y=c1​eλ1​x+c2​eλ2​x+...+cn​eλn​x

通解为： y = c 1 e λ x + c 2 x e λ x + . . . + c n x n − 1 e λ x = e λ x ( c 1 + c 2 x + . . . + c n x n − 1 ) y=c_1e^{\lambda x}+c_2xe^{\lambda x}+...+c_nx^{n-1}e^{\lambda x}=e^{\lambda x}(c_1+c_2x+...+c_nx^{n-1}) y=c1​eλx+c2​xeλx+...+cn​xn−1eλx=eλx(c1​+c2​x+...+cn​xn−1)

λ = α ± i β \lambda = \alpha \pm i\beta λ=α±iβ，这里虽然复数是成对出现，但是当做是一个根。

先给出通解形式，再补充点推导过程。

通解： y = c 1 e α x c o s β x + c 2 e α x s i n β x y=c_1e^{\alpha x}cos\beta x+c_2e^{\alpha x}sin\beta x y=c1​eαxcosβx+c2​eαxsinβx

推导过程：

先补充欧拉方程： e i x = c o s x + i s i n x e^{ix}=cosx+isinx eix=cosx+isinx

由欧拉公式进行推导，先推导 λ = α + i β \lambda = \alpha + i\beta λ=α+iβ： e ( α + i β ) x = e α x + i β x = e α x ( c o s β x + i s i n β x ) = e α x c o s β x + i e α x s i n β x = c 1 e α x c o s β x + c 2 e α x s i n β x \begin{aligned} e^{(\alpha + i\beta)x} &= e^{\alpha x + i \beta x} \\ & = e^{\alpha x}(cos\beta x + isin\beta x) \\ & = e^{\alpha x}cos\beta x + i e^{\alpha x}sin\beta x \\ & = c_1e^{\alpha x}cos\beta x+c_2e^{\alpha x}sin\beta x \end{aligned} e(α+iβ)x​=eαx+iβx=eαx(cosβx+isinβx)=eαxcosβx+ieαxsinβx=c1​eαxcosβx+c2​eαxsinβx​

这里 c 2 c_2 c2​实际上是包含了 i i i的。

同理， λ = α − i β \lambda = \alpha - i\beta λ=α−iβ如下： e ( α − i β ) x = e α x − i β x = e α x ( c o s β x − i s i n β x ) = e α x c o s β x − i e α x s i n β x = c 1 e α x c o s β x + c 2 e α x s i n β x \begin{aligned} e^{(\alpha - i\beta)x} &= e^{\alpha x - i \beta x} \\ & = e^{\alpha x}(cos\beta x - isin\beta x) \\ & = e^{\alpha x}cos\beta x - i e^{\alpha x}sin\beta x \\ & = c_1e^{\alpha x}cos\beta x+c_2e^{\alpha x}sin\beta x \end{aligned} e(α−iβ)x​=eαx−iβx=eαx(cosβx−isinβx)=eαxcosβx−ieαxsinβx=c1​eαxcosβx+c2​eαxsinβx​ 因为 c o s ( − x ) = c o s x , s i n ( − x ) = − s i n x cos{(-x)}=cosx,sin(-x)=-sinx cos(−x)=cosx,sin(−x)=−sinx，所以可以获得上面公式，这里 c 2 c_2 c2​是包含了 − i -i −i的。

[1]3Blue1Brown.【官方双语】微分方程概论-第一章[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1tb411G72z,2019-4-24. [2]3Blue1Brown.【官方双语】微分方程概论-第二章：什么是偏微分方程？[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1q4411p7NX,2019-5-27. [3]math也是柠檬精.半小时内搞定一阶常微分方程（带技巧和例题）[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1qJ411A7QK?from=search&seid=10597070231979640473,2019-9-15. [4]math也是柠檬精.半小时搞定高阶线性微分方程[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1qE411h7yp,2019-10-29. [5]柠檬草嘉6的店.可降解的高阶微分方程[EB/OL].https://wenku.baidu.com/view/c05bb71cdcccda38376baf1ffc4ffe473368fda4.html,2019-3-8. [6]风车飞了的店.全微分方程的解法[EB/OL].https://wenku.baidu.com/view/faefc09dc4da50e2524de518964bcf84b8d52d6c.html,2018-11-16.